Anmerkungen: Die Berechnung des Erwartungswertes ist abhängig davon, ob es sich bei X um eine diskrete oder stetige Zufallsvariable handelt.
1
Für die Bestimmung der Varianz Var(X) einer Zufallsvariablen X muss man zunächst ihren Erwartungswert E(X) berechnen.
2
Dann ist die Varianz von X bestimmt durch folgende Formel: Var(X)=E[(X-E(X))(X-E(X))^T].
3
Gilt für die Zufallsvariable X, dass E(X²) kleiner als unendlich ist, so kann man die Varianz mithilfe von Var(X)=E[(X-E(X))²] berechnen.
4
Letztgenannte Formel kann man umschreiben, um die Berechnung zu vereinfachen: Var(X)=E[(X-E(X))²]=E[X²-2*X*E(X)+(E(X))²]=E(X²)-2*(E(X))²+(E(X))²=E(X²)-(E(X))² (Verschiebungssatz).
5
Die lineare Transformation für reelle Zahlen a und b erhält man mittels Verschiebungssatz:
6
Var(a*X+b)=E[(a*X+b-E(a*X+b))²]=E[a²(X-E(X))²]=a²*Var(X).
7
Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable X:
8
Habe X folgende Wahrscheinlichkeiten: x_1=2, x_2=3, x_3=4; f(x_1)=0,3, f(x_2)=0,3, f(x_3)=0,4. Dann ist der Erwartungswert E(X)=2*0,3+3*0,3+4*0,4=3,1.
9
Daraus ergibt sich die Varianz Var(X)=(2-3,1)²*0,3+(3-3,1)²*0,3+(4-3,1)²*0,4=0,69;
10
oder mit Verschiebungssatz: Var(X)=2²*0,3+3²*0,3+4²*0,4-3,1²=0,69.