Wie berechnet man Inverse?

Themenübersicht > Schule     Veröffentlicht von: Gabriel -  9. März 2012

Anmerkungen: Als Inverse oder inverse Matrix wird in der linearen Algebra eine quadratische Matrix A bezeichnet, wenn eine weitere Matrix A-1 existiert. So gilt AxA^{-1} = E .
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Zur Berechnung der Inverse gibt es zwei Verfahren. Zum einen:
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der Gauß-Jordan-Algorithmus
(1 2 0) (1 0 0) Bsp: A = (2 3 0) E = (0 1 0) (3 4 1) (0 0 1)
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Zunächst bildet man die Blockmatrix (A | E)
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(1 2 0) I (1 0 0)
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(2 3 0) I (0 1 0)
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(3 4 1) I (0 0 1)
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nun wird der Gauß-Jordan-Agorithmus angewendet aus dem sich nach erfolgreicher Durchführung folgende Matrix ergibt :
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(1 0 0) I (-3 2 0)
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(0 1 0) I ( 2 -1 0)
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(0 0 1) I ( 1 -2 1)
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Daraus lässt sich die Inverse der Matrix ablesen
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(-3 2 0)
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A^{-1} = ( 2 -1 0)
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( 1 -2 1)
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Des Weiteren gibt es die Berechnung mit Hilfe der Adjunkte und der Determinanten ( nur für 2×2- und 3×3-Matrizen geeignet):
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Die Formel für die Berechnung der Inverse mittels Adjunkten und Determinanten lautet:
adj(A) A^{-1} = ——- det(A)
(a b) 1 (d -b) 1 (d -b)
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So gilt für das Bsp: A^{-1} = ^{-1} = —– = ——– (c d) det(A) (-c a) ad-bc (-c a)
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