Wie berechnet man die Varianz – Statistik?

Themenübersicht > Schule     Veröffentlicht von: Gabriel -  24. September 2011

Anmerkungen: Die Berechnung des Erwartungswertes ist abhängig davon, ob es sich bei X um eine diskrete oder stetige Zufallsvariable handelt.
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Für die Bestimmung der Varianz Var(X) einer Zufallsvariablen X muss man zunächst ihren Erwartungswert E(X) berechnen.
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Dann ist die Varianz von X bestimmt durch folgende Formel: Var(X)=E[(X-E(X))(X-E(X))^T] .
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Gilt für die Zufallsvariable X, dass E(X²) kleiner als unendlich ist, so kann man die Varianz mithilfe von Var(X)=E[(X-E(X))²] berechnen.
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Letztgenannte Formel kann man umschreiben, um die Berechnung zu vereinfachen: Var(X)=E[(X-E(X))²] =E[X²-2*X*E(X)+(E(X))²] =E(X²)-2*(E(X))²+(E(X))²=E(X²)-(E(X))² (Verschiebungssatz).
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Die lineare Transformation für reelle Zahlen a und b erhält man mittels Verschiebungssatz:
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Var(a*X+b)=E[(a*X+b-E(a*X+b))²] =E[a²(X-E(X))²] =a²*Var(X).
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Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable X:
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Habe X folgende Wahrscheinlichkeiten: x_1=2, x_2=3, x_3=4; f(x_1)=0,3, f(x_2)=0,3, f(x_3)=0,4. Dann ist der Erwartungswert E(X)=2*0,3+3*0,3+4*0,4=3,1.
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Daraus ergibt sich die Varianz Var(X)=(2-3,1)²*0,3+(3-3,1)²*0,3+(4-3,1)²*0,4=0,69;
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oder mit Verschiebungssatz: Var(X)=2²*0,3+3²*0,3+4²*0,4-3,1²=0,69.
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